حدس گلدباخ (از مسائل حل نشده ریاضیات)

حدس گلدباخ: آیا هر عدد زوج طبیعی بیشتر از 2، را می توان به صورت حاصل جمع دو عدد اول نوشت؟

به عنوان مثال:                                                               2+2=4

        یا مثلا                                                                13+17=30

اثبات این مساله تا کنون به صورت‌حل نشده باقی مانده است. به علاوه تا کنون هم هیچ مثال نقضی برای آن یافت نشده.

1- مسئله P در برابر NP

2- حدس هاج

3- فرضیه ریمان

4- حدس پوانکاره (حل شده)

5- وجود و شکاف مسئله یانگ-میلز

6- وجود و نرمی مسئله ناویر - استوکس

7- حدس بیرش و سوینرتون - دایر

پیر دو فرما در سده 17 میلادی این قضیه را در حاشیه کتاب خود مطرح کرده بود که بر این اساس:

- معادله ی xⁿ+yⁿ=zⁿ برای اعداد صحیح n بزرگتر از 2 جواب ندارد.

- یا به عبارتی دیگر اعداد صحیح و به غیر از عدد صفر xوyوz را نمی توان یافت که جواب معادله ی بالا باشد.

- یا به عبارتی دیگر هیچ مکعب مستطیل یا مربعی نیست که همه ی اضلاعش عددی صحیح و بزگتر از 2 باشد.

این قضیه تا سال 1994 میلادی به صورت یک معما حل نشده باقی ماند.

فرما در حاشیه ی کتابش می نویسد اثبات شگفت انگیزی برای این سوال کشف کرده ام. ولی حاشیه ی کتاب باریک تر از آن است که بتوان آن را نوشت.))

فرما در نوشته هایش ادعاهای گوناگونی در مورد مسائل متعددی کرده بود، که همه ی حدس ها و نظریه های مطرح شده تا سال 1847 حل شدند، غیر از این مساله که آخرین قضیه ی او نام گرفت.

ویکیپدیا می نویسد:

«در 4 آگوست 1753 اویلر در نامه‌ای به گلدباخ، ادعا کرد که قضیه فرما را در حالت N=3 ثابت کرده‌است. البته اثبات وی اشتباه داشت... فرد دیگری که قدمی به جلو برداشت، سوفی ژرمن بود. او نشان داد که اگر n و 2n+1 اعداد اولی باشند، آنگاه ایجاب می‌کند که یکی از x، y یا z بر n بخشپذیر باشد. بنابراین قضیه آخر فرما به دو حالت زیر تفکیک می‌شود:

• (1) n هیچیک از x و y و z را نمی‌شمارد.
  (2) n یکی از x و y و z را می‌شمارد.
  سوفی ژرمن حالت (1) را برای هر >100 ثابت کرد و لژاندر روش وی را به همه اعداد کوچک‌تر از 197 گسترش داد. حالت (2) برای n=5 به دو بخش تقسیم شد و بخشی را دیریکله در جولای 1825 و حالت دیگر را لژاندر در سپتامبر 1825 ثابت کرد. در سال 1832 دیریکله اثباتی از قضیه فرما را برای n=14 منتشر کرد. حالت n=7 در 1839 توشط لامه ثابت شد...
  با وجود جوایزی که برای حل مساله فرما گذاشته شده بود، این قضیه، همچنان حل نشده باقی ماند و رکورددار بیشترین اثباتهای غلط شد. به عنوان مثال بیش از 1000 اثبات غلط در بین سالهای 1908 تا 1912 منتشر گردید...»

سال ها گذشت و ریاضی دانها، یکی پس از دیگری، یا اثباتی غلط ارائه می دادند، و یا قسمتی از مساله رو حل می کردند و کار رو به نسل های بعدی می سپردن. تا روزی یک کودک به نام اندرو وایلز این مساله رو در کتابی دید و از همون کودکی اسیر حل آن شد. او در خاطراتش می گوید:

«من ده ساله بودم که روزی در کتابخانه‌ای عمومی یک کتاب ریاضی پیدا کردم. در این کتاب مطالب تاریخی بسیاری درباره مساله‌ای آمده بود. من در حالی که فقط ده سالم بود، صورت آن مساله را فهمیدم و سعی کردم آن را ثابت کنم. مساله جالبی بود. این مساله همان قضیه آخر فرما بود!... به نظر خیلی ساده می رسید، ولی همه ی ریاضی دانهای بزرگ در حلش عاجز بودن... مصمم شدم که حلش کنم»

در طول دوران جوانی سعی به حل مساله داشت، ولی هیچ پیشرفتی نکرد. در آخر وایلز به این نتیجه رسید که ریاضیات موجود، قادر به حل این سوال به صورت مطلق نبوده، و نیاز هست که از زاویه ی دیگری به آن نگاه شود.

وایلز به دانشگاه کمبریج رفت و بعد از گرفتن درجه ی دکترا، به دانشگاه پرینستون رفت. بعد از گذشت سال ها ریاضی دانی به نام «کن ریبت» کشف کرد که نظریه ی حل نشده ی دیگری (به اسم تانیاما-شیمورا) در خم های بیضوی، رابطه ای مستقیم با قضیه ی فرما دارد. و اگر کسی بتواند آن مساله را حل کند، فضیه ی فرما هم اثبات خواهد شد. پس وایلز همه ی تلاش خودش رو برای حل مساله ی تانیاما - شیمورا معطوف کرد و 7 سال از اکثر کارهای دیگرش دست کشید و به حل مساله پرداخت.

در این مطلب به تعدادی از این مسائل خواهیم پرداخت:

به طور کلی به مسائلی در ریاضیات که تا حالا اثباتی برای رد یا نفی آنها بیان نشده است «مسئله های باز» می گویند.

مسئله های باز (Open Problems) خود به چند دسته تقسیم می شوند:

1- مسائل هیلبرت: شامل 23 مسئله است که تا کنون 4 مسئله آن حل نشده باقی مانده است.

2- مسائل هزاره: شامل 7 مسئله که ظاهری ساده دارند اما تاکنون فقط یکی از آنان به اثبات انجامیده است.